תרגילים + פתרונות - רווח סמך לתוחלת שונות ידועה ולא ידועה

אוסף תרגילים ברמת קושי עולה בנושא של רווח סמך לממוצע יחיד עם שונות ידועה

תוכן עניינים

• מבוא
• הנחות יסוד ונוסחה
• תרגילים ברמת קושי בסיסית
• תרגילים ברמת קושי בינונית
• תרגילים ברמת קושי מתקדמת
• סיכום

מבוא

בעולם הסטטיסטיקה, אמידת פרמטרים של אוכלוסייה היא משימה יסודית. לעתים קרובות, אין באפשרותנו למדוד את כלל האוכלוסייה, ולכן אנו מסתמכים על מדגמים כדי להסיק מסקנות.[1] רווח סמך לממוצע יחיד עם שונות ידועה הוא כלי סטטיסטי המאפשר לנו לאמוד את טווח הערכים הסביר שבו נמצא ממוצע האוכלוסייה, וזאת ברמת ביטחון נתונה.[1][2]

מאמר זה מציג אוסף תרגילים מקיף בנושא, המסודר ברמות קושי עולות. מטרתו היא לספק לקוראים, בין אם הם סטודנטים, חוקרים או אנשי מקצוע, הבנה מעמיקה וכלים מעשיים ליישום נכון של רווחי סמך. נתחיל מהיסודות התאורטיים, נעבור לתרגילים חישוביים פשוטים ונסיים בבעיות מורכבות יותר הדורשות חשיבה אנליטית ויישום בהקשרים מציאותיים.

הנחות יסוד ונוסחה

לפני שניגש לתרגילים, חשוב להבין את הרקע התאורטי. בניית רווח סמך לממוצע עם שונות ידועה מסתמכת על מספר הנחות יסוד:

1. התפלגות נורמלית או מדגם גדול: המשתנה הנמדד באוכלוסייה מתפלג נורמלית, או שגודל המדגם גדול מספיק (בדרך כלל n ≥ 30) כדי שנוכל להסתמך על משפט הגבול המרכזי.
2. שונות אוכלוסייה ידועה (σ²): זהו תנאי ייחודי למקרה זה, ולרוב אינו מתקיים במציאות. עם זאת, הוא מהווה נקודת פתיחה חשובה להבנת הנושא.
3. דגימה אקראית: המדגם נבחר באופן אקראי מהאוכלוסייה, כך שלכל פרט באוכלוסייה יש סיכוי שווה להיכלל במדגם.

הנוסחה לחישוב רווח סמך לממוצע היא:

כאשר:

•  x̄ הוא ממוצע המדגם.
•  Zα/2 הוא הערך הקריטי מהתפלגות Z הסטנדרטית, התואם לרמת הסמך הרצויה (1-α).[4]
•  σ היא סטיית התקן של האוכלוסייה.
•  n הוא גודל המדגם.

תרגיל 1:

חוקרים מעוניינים לאמוד את ממוצע משקל הלידה של תינוקות בעיר מסוימת. ידוע כי סטיית התקן של משקל הלידה באוכלוסייה היא 500 גרם. נלקח מדגם מקרי של 100 תינוקות, וממוצע משקלם במדגם היה 3200 גרם.

• חשבו רווח סמך ברמת סמך של 95% לממוצע משקל הלידה באוכלוסייה.

צריכים עזרה ברווח סמך?

פתרון:

• נתונים: n = 100, x̄ = 3200, σ = 500
• רמת סמך: 95%, ולכן Zα/2 = 1.96

חישוב: