שאלות בהסתברות עם פתרונות והסברים:
שאלה 1:
הטלתי קוביה רגילה
פעמיים.
בהינתן שסכום
התוצאות שונה מ-7, מה הסיכוי שמכפלת התוצאות גדולה מ-15?
תשובה 1:
מדובר במשפט
בייס (הסתברות מותנה), ולכן זו ההצבה שאנחנו מחפשים:
באשר למכנה:
יש 6 תוצאות
אפשריות לקבלת סכום 7 בהטלת 2 קוביות, כלומר ההסתברות לקבל בדיוק 7 בהטלת 2 קוביות
היא:
לכן
ההסתברות לקבל תוצאה שונה מ-7 היא -
לגבי המונה:
אנחנו צריכים תוצאה שגם הסכום שונה מ-7 וגם המכפלה גדולה מ-15. כיוון שאין זוג
תוצאות שסכומם שווה ל-7 וגם מכפלתם גדולה מ-15, הרי שהסיכוי לחיתוך = למעשה לסיכוי
הספציפי שמכפלת המספרים גדולה מ-15.
מתמטית נכתוב:
כעת נמצא את
מספר המקרים עבור כ"א מההטלות לקבל מכפלה גדולה מ-15. עבור 1 למשל, מספר
האפשרויות הוא 0 כי הערך הכי גדול שיכול להתקבל כש-1 היא התוצאה הראשונה, היא 6
(כי 1 כפול 6 שווה ל-6), עבור 2 גם 0 אפשרויות, כי 2 כפול 6 שווה ל-12 וזה קטן
מ-15. רק עבור 3 יש אפשרות אחת כי 3 כפול 6 שווה 18 וזה גדול מ-15.
כך נמצא את
כל האפשרויות:
אחרי שמצאנו
גם את המונה וגם את המכנה, נוכל להציב ולמצוא את התשובה הסופית:
שאלה 2:
ירון שולף
כדורים מכד. בכד יש 10 כדורים אדומים, 5 ירוקים ו-3 כחולים.
א. בשליפה ללא
החזרה, מה הסיכוי שהכדור השני יצא ירוק?
ב. בשליפה עם
החזרה, מה הסיכוי שהכדור ה-5 יהיה האדום השני שישלף?
ג.
מהו מספר הפעמים הצפוי
עד שישלף כדור כחול, אם השליפה היא עם החזרה?
תשובה 2:
א. יש אפשרות
שהכדור הראשון ירוק וגם הכדור השני, ויש אפשרות שהכדור הראשון לא ירוק והכדור השני
כן ירוק. כך זה ייכתב:
סה"כ ההסתברות היא סכום שתי ההסתברויות האלו:
ב. בשליפה עם
החזרה ההסתברות לא משתנה, ולכן ניתן להתייחס לזה כהתפלגות בינומית, עם 5 ניסיונות
וסיכוי להצלחה 10/18. כיוון שמובן מהשאלה שהכדור החמישי שישלף הוא השני האדום, הרי
שידוע שב-4 הראשונים יש כדור אחד אדום שישלף.
כיוון שאין תלות בין המאורעות, נכפיל את המאורעות, וכך
נקבל:
ג. כיוון שגם
כאן יש החזרה, הרי שמניסיון לניסיון ההסתברות נשארת זהה, אבל אין מספר סופי מוגדר
של ניסיונות, אלא פשוט מנסים עד הצלחה ראשונה. ולכן מדובר בהתפלגות גיאומטרית עם
סיכוי הצלחה 3/18.
למעשה מחפשים את התוחלת של התפלגות גיאומטרית, שהיא
המשמעות היא שידרשו 6
ניסיונות בממוצע, עד שיתקבל כדור כחול.
תגיות:
שאלות ופתרונות בהסתברות.
שאלות פתורות בהסתברות.
דוגמאות עם פתרונות בהסתברות.
דוגמאות עם הסברים בהסתברות.
