במאמר הקודם בסדרה הכרנו את מושג הסדרה המתמטית והתעכבנו על הסדרה
החשבונית.
במאמר זה, נבין כיצד מחשבים סכום של סדרה חשבונית.
נבין גם כיצד מחשבים חלקי סכומים, סכום של איברים זוגיים, סכום של איברים
אי-זוגיים וכו'.
לעיתים נרצה לדעת מה הסכום של איברים שונים בסדרה החשבונית; לעיתים זה יהיה
10 האיברים הראשונים, לעיתים זה יהיה סכום האיברים מה-11 ועד ה-20 ולעיתים זה יהיה
סכום כל האיברים האי-זוגיים בסדרה.
לכל החישובים האלה, נצטרך להשתמש בנוסחת הסכום של איברי הסדרה; כזכור בסדרה
חשבונית מוגדר לנו האיבר הראשון + ההפרש (לעיתים זה יכול להיות גם איבר שאינו הראשון,
אבל חשוב שנדע בדיוק מה המיקום של האיבר).
זו הנוסחה הכללית של סכום סדרה חשבונית:
להלן מספר דוגמאות:
דוגמא 1:
נתונה סדרה שהאיבר הראשון שלה הוא 8 וההפרש הוא 3. מה סכום 10 האיברים
הראשונים בסדרה?
תשובה 1:
אנחנו יודעים שהאיבר הראשון הוא 8 וההפרש הוא 3, כמו כן אנחנו יודעים
שמחפשים את הסכום של 10 האיברים הראשונים בסדרה; למעשה יש לנו את כל מה שאנחנו
צריכים בנוסחה, כדי להציב בה:
דוגמא 2:
נתונה סדרה שהאיבר החמישי שלה הוא (-1) והאיבר ה-10 שלה הוא (-16). מה סכום האיברים ה-5 ועד
ה-19 בסדרה?
תשובה 2:
כאן אנחנו לא יודעים את האיבר הראשון ולא את ההפרש, אבל אנחנו יכולים למצוא
אותם לפי מה שנתון לנו, ב-2 משוואות עם 2 נעלמים;
כעת, אחרי שבודדנו את a1 ב-2 המשוואות, נותר להשוות את המשוואות זו לזו:
ואחרי
שמצאנו את ההפרש d, נמצא את
האיבר הראשון בסדרה a1:
כעת אחרי
שמצאנו את האיבר הראשון ואת סכום הסדרה, נוכל למצוא את סכום 19 האיברים הראשונים
בסדרה ואת סכום 4 האיברים הראשונים בסדרה; אח"כ נפחית את סכום ארבעת האיברים
מסכום 19 האיברים הראשונים של הסדרה וכך נישאר עם סכום האיברים 5 עד 19 בסדרה.
זה סכום 19
האיברים הראשונים:
זה סכום 4 האיברים הראשונים:
מכאן נשאר הפרש הסכומים:
דוגמא 3:
האיבר הראשון בסדרה הוא 13 וההפרש הוא 5.
מצאו את סכום האיברים האי-זוגיים בסדרה עד האיבר ה-21; (כלומר סכום של איבר
1, איבר 3, איבר 5 וכן הלאה)? מהו סכום האיברים הזוגיים בסדרה עד האיבר ה-14?
תשובה 3:
כדי למצוא את סכום האיברים האי-זוגיים בסדרה, ניתן להגדיר את הסדרה באופן
מעט שונה, ולהשתמש באותה נוסחה; נגדיר את האיבר הראשון a1=13, אבל את ההפרש נגדיר כ-d=10. בנוסף יש למצוא למעשה את
הסכום של 11 האיברים הראשונים, ולא 21, כי 21 כוללים את הזוגיים;
כעת יש לנו את כל מה שצריך כדי להגדיר את נוסחת הסכום של הסדרה החשבונית,
ולמצוא את הסכום המבוקש:
עבור סכום האיברים הזוגיים, גם כאן נשתמש בפעמיים ההפרש המקורי (כלומר d כאן יהיה 10), ואיבר הראשון
יהיה 18 ולא 13 - כי האיבר הראשון שאנחנו עובדים איתו בסדרה הזאת הוא למעשה a2.
כמו כן, עד האיבר ה-14 זה אומר שלמעשה יהיו לנו 7 מחוברים;
וכך יראה הסכום הכללי:
דוגמא 4:
ידוע כי האיבר הראשון בסדרה הוא 1 וההפרש הוא 10.
סכום הסדרה הוא 3276. מה כמות האיברים הסדרה?
תשובה 4:
נציב בנוסחה:
מפיתוח הנוסחה הזו, מתקבל ש-n=26, כלומר מספר האיברים בסדרה שסכומה הוא
3276 ומתחילה ב-1 וההפרש בה הוא 10, הוא
26 איברים.
שאלות לתרגול עצמי (ללא פתרון):
1. ידוע כי האיבר ה-6 בסדרה חשבונית הוא מינוס 17, וכי ההפרש הוא מינוס 5. מהו
סכום הסדרה עד לאיבר ה-20? מהו סכום האיברים האי-זוגיים בסדרה עד לאיבר ה-35?
2. האיבר הראשון בסדרה חשבונית הוא 14, וההפרש הוא 10; סכום הסדרה שחושב הוא
828. מכמה איברים חושב הסכום?
3. האיבר ה-3 בסדרה חשבונית הוא 20 וההפרש הוא 2. מהו סכום הסדרה מהאיבר ה-6
ועד לאיבר ה-60?